پاسخ فعالیت صفحه 56 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 56 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت برای درک تفاوت اساسی در ساده‌سازی رادیکال‌ها وقتی **توان داخلی و فرجه با هم برابرند** ($$\sqrt[n]{a^n}$$) و تأکید بر استفاده از **قدر مطلق** برای فرجه‌های زوج است. ### **تکمیل جدول $\sqrt[n]{a^n}$** 1. **سطر دوم ($a \ge 0, n$ فرد):** * $$n=3, a=2 \Rightarrow \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = \mathbf{2}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.) 2. **سطر چهارم ($a < 0, n$ فرد):** * $$n=3, a=-2 \Rightarrow \sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = \mathbf{-2}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.) | | | | مقدار | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sqrt[n]{a^n}$ | $a \ge 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=2$ | $\sqrt[4]{2^4} = 2 \quad (2=|2|)$ | | $\sqrt[n]{a^n}$ | $a \ge 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=2$ | $\mathbf{2}$ | | $\sqrt[n]{a^n}$ | $a < 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=-2$ | $\sqrt[4]{(-2)^4} = 2 \quad (2=|-2|)$ | | $\sqrt[n]{a^n}$ | $a < 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=-2$ | $\mathbf{-2}$ | ### **نتیجه‌گیری نهایی** 1. **اگر $\mathbf{a \ge 0}$:** چه $n$ زوج باشد و چه فرد، $\sqrt[n]{a^n}$ برابر $a$ است (چون $|a|=a$ است). * $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{a}$ 2. **اگر $\mathbf{a < 0}$:** * **$n$ زوج:** حاصل همواره مثبت است (قدر مطلق $a$): $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{|a|}$ * **$n$ فرد:** حاصل برابر با خود $a$ است: $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{a}$ **قانون نهایی (در انتهای جدول):** اگر $a \ge 0$، آن‌گاه $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{a}$ و اگر $a < 0$، آن‌گاه $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} \mathbf{|a|} & n \text{ زوج} \\ \mathbf{a} & n \text{ فرد} \end{cases}$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 56 ریاضی دهم - بخش ۲ این فعالیت در مورد ساده‌سازی عبارت **توان ریشه‌ی $n$اُم** ($$(\sqrt[n]{a})^n$$) است. این حالت معمولاً ساده‌تر از حالت قبلی است، اما باید به محدودیت‌های تعریف رادیکال‌های زوج توجه کرد. ### **تکمیل جدول $(\sqrt[n]{a})^n$** 1. **سطر دوم ($a \ge 0, n$ فرد):** * $$n=3, a=8 \Rightarrow (\sqrt[3]{8})^3 = (2)^3 = \mathbf{8}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.) 2. **سطر سوم ($a < 0, n$ زوج):** * $$n=4, a=-16 \Rightarrow (\sqrt[4]{-16})^4$$ * **توجه:** $\sqrt[4]{-16}$ در مجموعه‌ی اعداد حقیقی **تعریف نشده** است، بنابراین عبارت کل نیز تعریف نشده است. * **حاصل:** $\mathbf{\text{تعریف نشده}}$ 3. **سطر چهارم ($a < 0, n$ فرد):** * $$n=3, a=-8 \Rightarrow (\sqrt[3]{-8})^3 = (-2)^3 = \mathbf{-8}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.) | | | | مقدار | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a \ge 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=16$ | $16$ | | $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a \ge 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=8$ | $\mathbf{8}$ | | $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a < 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=-16$ | $\mathbf{\text{تعریف نشده}}$ | | $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a < 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=-8$ | $\mathbf{-8}$ | ### **نتیجه‌گیری نهایی** 1. **اگر $\mathbf{a \ge 0}$:** چه $n$ زوج باشد و چه فرد، رادیکال تعریف شده و نتیجه برابر با $a$ است. * $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{a}$ 2. **اگر $\mathbf{a < 0}$:** * **$n$ زوج:** رادیکال تعریف نشده است. * $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$ * **$n$ فرد:** رادیکال تعریف شده و نتیجه برابر با $a$ است. * $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{a}$ **قانون نهایی (در انتهای جدول):** اگر $a \ge 0$، آن‌گاه $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{a}$ و اگر $a < 0$، آن‌گاه $(\sqrt[n]{a})^n = \begin{cases} \mathbf{\text{تعریف نشده}} & n \text{ زوج} \\ \mathbf{a} & n \text{ فرد} \end{cases}$