فعالیت ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - رابطه $\sqrt[n]{a^n}$
۱. جدول زیر را کامل کنید.
| | | | مقدار | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a \ge 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=2$ | $\sqrt[4]{2^4} = 2 \quad (2=|2|)$ |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a \ge 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=2$ | $\sqrt[3]{2^3} = \underline{\hspace{1cm}}$ |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a < 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=-2$ | $\sqrt[4]{(-2)^4} = 2 \quad (2=|-2|)$ |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a < 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=-2$ | $\sqrt[3]{(-2)^3} = \underline{\hspace{1cm}}$ |
اگر $a \ge 0$، آن‌گاه $\sqrt[n]{a^n} = \underline{\hspace{1cm}}$
و اگر $a < 0$، آن‌گاه $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} \underline{\hspace{1cm}} & n \text{ زوج} \\ \underline{\hspace{1cm}} & n \text{ فرد} \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 56 ریاضی دهم - بخش ۱
سلام! این فعالیت برای درک تفاوت اساسی در ساده‌سازی رادیکال‌ها وقتی **توان داخلی و فرجه با هم برابرند** ($$\sqrt[n]{a^n}$$) و تأکید بر استفاده از **قدر مطلق** برای فرجه‌های زوج است.
### **تکمیل جدول $\sqrt[n]{a^n}$**
1. **سطر دوم ($a \ge 0, n$ فرد):**
* $$n=3, a=2 \Rightarrow \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = \mathbf{2}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.)
2. **سطر چهارم ($a < 0, n$ فرد):**
* $$n=3, a=-2 \Rightarrow \sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = \mathbf{-2}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.)
| | | | مقدار | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a \ge 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=2$ | $\sqrt[4]{2^4} = 2 \quad (2=|2|)$ |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a \ge 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=2$ | $\mathbf{2}$ |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a < 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=-2$ | $\sqrt[4]{(-2)^4} = 2 \quad (2=|-2|)$ |
| $\sqrt[n]{a^n}$ | $a < 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=-2$ | $\mathbf{-2}$ |
### **نتیجه‌گیری نهایی**
1. **اگر $\mathbf{a \ge 0}$:** چه $n$ زوج باشد و چه فرد، $\sqrt[n]{a^n}$ برابر $a$ است (چون $|a|=a$ است).
* $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{a}$
2. **اگر $\mathbf{a < 0}$:**
* **$n$ زوج:** حاصل همواره مثبت است (قدر مطلق $a$): $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{|a|}$
* **$n$ فرد:** حاصل برابر با خود $a$ است: $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{a}$
**قانون نهایی (در انتهای جدول):**
اگر $a \ge 0$، آن‌گاه $\sqrt[n]{a^n} = \mathbf{a}$
و اگر $a < 0$، آن‌گاه $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} \mathbf{|a|} & n \text{ زوج} \\ \mathbf{a} & n \text{ فرد} \end{cases}$
فعالیت ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - رابطه $(\sqrt[n]{a})^n$
۲. جدول زیر را کامل کنید.
| | | | مقدار | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a \ge 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=16$ | $(\sqrt[4]{16})^4 = 2^4 = 16$ |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a \ge 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=8$ | $(\sqrt[3]{8})^3 = \underline{\hspace{1cm}}$ |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a < 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=-16$ | $(\sqrt[4]{-16})^4 = \underline{\hspace{1cm}}$ |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a < 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=-8$ | $(\sqrt[3]{-8})^3 = \underline{\hspace{1cm}}$ |
اگر $a \ge 0$، آن‌گاه $(\sqrt[n]{a})^n = \underline{\hspace{1cm}}$
و اگر $a < 0$، آن‌گاه $(\sqrt[n]{a})^n = \begin{cases} \underline{\hspace{1cm}} & n \text{ زوج} \\ \underline{\hspace{1cm}} & n \text{ فرد} \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 56 ریاضی دهم - بخش ۲
این فعالیت در مورد ساده‌سازی عبارت **توان ریشه‌ی $n$اُم** ($$(\sqrt[n]{a})^n$$) است. این حالت معمولاً ساده‌تر از حالت قبلی است، اما باید به محدودیت‌های تعریف رادیکال‌های زوج توجه کرد.
### **تکمیل جدول $(\sqrt[n]{a})^n$**
1. **سطر دوم ($a \ge 0, n$ فرد):**
* $$n=3, a=8 \Rightarrow (\sqrt[3]{8})^3 = (2)^3 = \mathbf{8}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.)
2. **سطر سوم ($a < 0, n$ زوج):**
* $$n=4, a=-16 \Rightarrow (\sqrt[4]{-16})^4$$
* **توجه:** $\sqrt[4]{-16}$ در مجموعه‌ی اعداد حقیقی **تعریف نشده** است، بنابراین عبارت کل نیز تعریف نشده است.
* **حاصل:** $\mathbf{\text{تعریف نشده}}$
3. **سطر چهارم ($a < 0, n$ فرد):**
* $$n=3, a=-8 \Rightarrow (\sqrt[3]{-8})^3 = (-2)^3 = \mathbf{-8}$$ (حاصل برابر با خود $a$ است.)
| | | | مقدار | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a \ge 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=16$ | $16$ |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a \ge 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=8$ | $\mathbf{8}$ |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a < 0$ | $n$ زوج | $n=4, a=-16$ | $\mathbf{\text{تعریف نشده}}$ |
| $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a < 0$ | $n$ فرد | $n=3, a=-8$ | $\mathbf{-8}$ |
### **نتیجه‌گیری نهایی**
1. **اگر $\mathbf{a \ge 0}$:** چه $n$ زوج باشد و چه فرد، رادیکال تعریف شده و نتیجه برابر با $a$ است.
* $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{a}$
2. **اگر $\mathbf{a < 0}$:**
* **$n$ زوج:** رادیکال تعریف نشده است.
* $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$
* **$n$ فرد:** رادیکال تعریف شده و نتیجه برابر با $a$ است.
* $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{a}$
**قانون نهایی (در انتهای جدول):**
اگر $a \ge 0$، آن‌گاه $(\sqrt[n]{a})^n = \mathbf{a}$
و اگر $a < 0$، آن‌گاه $(\sqrt[n]{a})^n = \begin{cases} \mathbf{\text{تعریف نشده}} & n \text{ زوج} \\ \mathbf{a} & n \text{ فرد} \end{cases}$
